Processing math: 100%

n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক ২০২৫) - উচ্চতর গণিত দ্বিপদী বিস্তৃতি | - | NCTB BOOK
557
557

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

2=2.1, 6=3.2.1, 24=4.3.2.1!, 120=5.4.3.2.1,...

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

2=2.1=2!, 6=3.2.1=3!, 24=4.3.2.1=4!, 120=5.4.3.2.1=5!.....

এখন লক্ষ করি:
4!=4.3.2.1=4.(4-1).(4-2).(4-3)5!=5.4.3.2.1=5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)

সাধারণভাবে লিখতে পারি, n!=n(n-1)(n-2)(n-3).......... 3. 2. 1 এবং n! কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) n বলা হয়। তদ্রুপ 3! কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, 4! কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয়।

আবার লক্ষ করি:
(53)=5.4.31.2.3=5.4.3.2.1(1.2.3).(2.1)=5!3!×2!=5!3!×(5-3)!

(74)=7.6.5.41.2.3.4=7.6.5.4.3.2.1(1.2.3.4).(3.2.1)=7!4!×3!=7!4!×(7-4)!

সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি (nr)=n!r!(n-r)!

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

(nr)=n!r!(n-r)!=Crn

(74)=7!4!(7-4)!=C47 এবং (53)=5!3!(5-3)!=C35

সুতরাং, (nr)=Crn অর্থাৎ,(nr) ও Crnএর মান এক।

আমরা জানি(nn)=Cnn=n!n!(n-n)!=n!n!(0)!=10!1=10!,

অর্থাৎ 0!=1

মনে রাখতে হবে

n!=n(n-1)(n-2)........3.2.1(nr)=Crn, Crn=1(nr)=Crn=n!r!(n-r)!, (n0)=C0n=1(nn)=Cnn=1, 0!=1
এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা (nr) কে Crn দ্বারা প্রকাশ করব।
(1+y)n=1+C1ny+C2ny2+C3ny3+ .........+ Cnnyn(1+y)n=1+ny+n(n-1)2!y2+n(n-1)(n-2)3!y3+....... +yn

এবং অনুরূপভাবে,
(x+y)n=xn+C1nxn-1y+C2nxn-2y2+C3nxn-3y3+.......+Crnxn-ryr+.......+Cnnyn(x+y)n=xn+nxn-1y+n(n-1)1.2xn-2y2+n(n-1)(n-2)1.2.3xn-3y3+..........+yn
লক্ষণীয়: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য
দ্বিপদী বিস্তৃতি (1+y)n এর সাধারণ পদ বা (r+1) তম পদ Tr+1=(nr)yr বা  Crnyr
এখানে,(nr) বা Crn দ্বিপদী সহগ।
(x+y)n=xn+C1nxn-1y+C2nxn-2y2+C3nxn-3y3+...........+Cnnyn(x+y)n=xn+nxn-1y+n(n-1)1.2xn-2y2+n(n-1)(n-2)1.2.3xn-3y3+........+yn
সাধারণ পদ বা  (r+1) তম পদ Tr+1=(nr)xn-ryr যেখানে (nr) বাCrn দ্বিপদী সহগ ।
উদাহরণ ৫. (x-1x2)5কে বিস্তৃত কর।
 

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

(x-1x2)5=x5+C15x5-1(-1x2)+C25x5-2(-1x2)2+C35x5-3(-1x2)3+C45x5-4(-1x2)4+(-1x2)5=x5-5x4.1x2+5.41.2x3.1x4-5.4.31.2.3x21x6+5.4.3.21.2.3.4x1x8-1x10=x5-5x2+10x-10x4+5x7-1x10


 

Content added || updated By

Read more

টপ রেটেড অ্যাপ

স্যাট অ্যাকাডেমী অ্যাপ

আমাদের অল-ইন-ওয়ান মোবাইল অ্যাপের মাধ্যমে সীমাহীন শেখার সুযোগ উপভোগ করুন।

ভিডিও
লাইভ ক্লাস
এক্সাম
ডাউনলোড করুন
Promotion
;